第二十章 问答（2/3）
后把论文分享给了他们。也不知怎么回事，这本来是小圈子里的事，结果一下子给传出去了，现在整个数学界都沸腾了。邱教授没有你的联系方式，直接把电话打到我头上，我还一脸懵着呢！我说你这次，该不会是给我放卫星吧？”
庞学林微笑道：“刘院长，论文在这呢，要不你先看看？”
庞绍安也跟着说道：“小刘，你是代数几何与数论领域的专家，正好给小林把把关！”
刘廷波苦笑道：“庞教授，把关我可不敢当，小庞要是真解决了BSD猜想，都可以当我老师了！”
话虽然这样说，刘廷波还是坐在了电脑前，仔细看了起来。
一边看，他一边还时不时就论文中的一些疑问和庞学林做交流。
“小庞，这里假定D无平方因子，简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D: y^2=x^3-D^2x上有某个y //neq 0的有理点。可以证明这样的点不属于T，于是D为同余数又等价于r_D>0。（同余数问题）决定所有同余数D，使得r_D>0。对于给定素数p，（1）p //equiv 3（//mod 8）：p不是同余数但2 p是同余数；（2）p //equiv 5（//mod 8）：p是同余数；（3）p //equiv 7（//mod 8）：p和2 p都是同余数。你使用的工具是Heegner点的高度理论，你是怎么将它和L“（1，E）联系起来的？还有，你是如何确定D均为同余数的？“
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸，对付这种问题应付起来轻松异常，对答如流道：”关于E的Weil-Hasse函数L（s，E）的定义，一个经典结果是a_p有Hasse上界2//sqrt{p}，这推出L（s，E）对//mathrm{Re}//， s>//frac{3}{2}收敛。然后我们根据Gross-Zagier公式，就可以将其与L“（1，E）联系起来。另外，BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D>0当且仅当L（1，E_D）=0。假定弱BSD猜想成立，则（1）理论上我们能够判定D是否为同余数；（2）Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；（3）可以证明D //equiv 5，6，7（//mod 8）时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。“
刘廷波思索了片刻，满意地点了点头，过了一会儿，他又问道：“你这里说，L（s，E）在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，你是怎么得出这样的结论的？还有这里，E（Q）（Mordell-Weil群）有自然的交换群结构，你前面根据Mordell定理进一步断言E（Q）是有限生成的：E（Q）=//Bbb Z^r //oplus T，此处挠群T是某个有限Abel群，r称为E的秩。我们对T的了解是完全的：Mazur决定了所有15种可能的T。那么R呢？你这里是不是缺少了对R的有效刻画？“
庞学林道：“基于Eichler， Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想（模定理），现在知道L（s，E）可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L（s，E）在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下，已知BSD猜想对m=0.1成立，故L（s，E）在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，更进一步的话，又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌，竖起大拇指道：“你从同
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